Ecrit par l91k le Octobre 16, 2000 at 23:52:59:
En réponse à: Re: Urgent SVP Inégalité de Bernouilli écrit par l91k le Octobre 16, 2000 at 22:25:31:
Je vais te donner la démonstration de l'inégalité de Bernouilli lorsque (x;n) appartient à RxN* (pour n=0, on a l'égalité).
Tout d'abord, je nomme P[a(k),k,n,m] le produit des éléments a(k) lorsque k varie de n à m.
Ex: P[a(k),k,1,3]=a(1) x a(2) x a(3)
Nous pouvons alors commencer le problème.
Soit la fonction f(x)=x^n-n.x+n-1, pour tout couple (x;n) appartenant à RxN*.
Sa dérivée vaut alors: f'(x)=n.x^(n-1)-n.
f'(x)=0 <=> x^(n-1)=1=exp(2ik.pi) <=>
x=exp[2ik.pi/(n-1)] avec k appartenant à Z.
Donc f'(x) peut être mis sous la forme:
f'(x)=P[x-exp[2ik.pi/(n-1)],k,0,n-2].
Par la suite, nous allons considérer 2 cas:
-Premier cas: n est pair et différent de 2
(Pour n=2, f(x)=(x+1)^2>ou=0 donc l'égalité est démontré)
f'(x) peut être mis sous la forme:
f'(x)=P[x-exp[2ik.pi/(n-1)],k,-(n-2)/2,(n-2)/2]=(x-1).P[x^2-2.cos[2k.pi/(n-1)]+1,k,1,(n-2)/2]
On en deduit alors que f'(x)est du signe de x-1.
Donc:
-f décroît de ]-infini;1] sur [0;+infini[
-f croit de [1;+infini[ sur [0;+infini[
f(x)>ou=0 donc x^n-1>ou=n(x-1) pour tout x et n entier pair.
-Deuxième cas: n est impaire
f'(x) peut être mis sous la forme: Donc lorsque n est impaire, l'inégalité de Bernouilli n'est vérifié que pour x appartenant à [t(n),+infini[
f'(x)=
(x+1).P[x-exp[2ik.pi/(n-1)],k,-(n-3)/2,(n-3)/2]=(x^2-1).P[x^2-2.cos[2k.pi/(n-1)]+1,k,1,(n-3)/2]
On en deduit alors que f'(x)est du signe de
x^2-1.
Donc:
-f croît de ]-infini;-1] sur ]-infini;2n-2]
-f décroit de [-1;1] sur [0;2n-2]
-f croît [1;+infini[ sur [0;+infini[
f croît de ]-infini;-1] sur ]-infini;2n-2];
f(-infini).f(-1)