Ecrit par alex le Novembre 18, 2000 at 22:08:27:
En réponse à: HELP!!!!! écrit par simon le Novembre 18, 2000 at 14:42:27:
: Salut!!
: J'ai un probleme, j'arrive pas a faire cet exo et pourtant ça fait déjà une semaine que je planche dessus!!
: l'énoncé:
: Soit P(x)=4x(exposant 3)-6x²-6x+9
: 1.On admet que ce polynôme a 3 racines a,b,y. Sans chercher les nombres a,b,y, calculer a+b+y; aby ; 1/a + 1/b + 1/y
: 2.Trouver les racines de ce polynôme sachant qu'il a 2 racines opposées.
: Si vous avez la solution, une astuce, ou si vous connaissez un site ou l'on pourrait m'aider n'hésitez pas à me le dire.
: Merci d'avance
: Bye
On peut utiliser les relations entre coefficients et racines :
P(x) = 4x^3 -6x^2 -6x +9 = 4(x-a)(x-b)(x-y)
en développant cette dernière expression :
P(x) = 4x^3 -4(a+b+y)x^2 +4(ab+ay+by)x -4aby
et en identifiant avec la première :
4(a+b+y) = 6 (soit : a+b+y = 3/2)
4(ab+ay+by) = -6
-4aby = 9 (soit aby = -9/4)
On divise la ligne 2 par aby pour obtenir :
4(1/a +1/b +1/y) = -6(-4)/9
d'où 1/a +1/b +1/y =2/3.
pour la deuxième question :
on a par exemple y = -a
en remplaçant dans les formules précédentes, on obtient :
a+b+y = b = 3/2
aby = -a^2*b = -3/2a^2 = -9/4 d'où a = +/- racine de (3/2)
finalement les trois racines sont :
3/2; racine de (3/2); -racine de (3/2).