Ecrit par alex le Octobre 19, 2000 at 21:38:10:
En réponse à: Re: Résultats sur les cofacteurs... écrit par alex le Octobre 19, 2000 at 21:30:48:
: : Comment montrer que si une matrice d'ordre n n'est pas régulière, alors:
: : pour (i,j,k,l)dans [0,n]^2, N(ik).N(jl)-N(il).N(jk)=0
: : où
: : N(ij) est le cofacteur relatif à la ligne i et à la colonne j pour tout (i,j). Merci à ceux qui répondront.
: normalement, cette fois c'est la bonne :
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:Comme N n'est pas inversible,
rg(N)< ou = n-1
si rg(N)< ou = n-2, Nij = 0 pour tout(i,j)
car le rang de N est le max de l'ordre des
déterminants extraits de N non nuls.
si rg(N)= n-1, on a :
N*t(com N)= t(com N)*N = det(n)*In = 0,
(t:transposée, com(N):matrice des cofacteurs de N)
donc Im(t(com N))inclus dans Ker(N)
or, dans ce cas, dim Ker(N)=1,
donc rg(t(com(N))
tous les déterminants d'ordre 2 extraits de
com(N)sont nuls,
càd : Nik Njl - Nil Njk = 0.